<F+>
<T+1>
<mat. 5 s. cap. 8>
<135>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Hoje tem Matemtica        _
l    3                           _
l    Numerinhos, numeres e as   _
l  potncias                      _
l    Conhea o problema de um    _
l  marceneiro para construir      _
l  rguas                         _
l    Aprenda a fazer economia    _
l  com os nmeros                 _
l    Corte e cole na geometria   _
l  dos recortes                   _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

8. Os nmeros primos

Ladrilhos quadrados E os divisores de um nmero

  Professor fala:
  -- Quantos retngulos diferentes voc pode construir usando os 12 
ladrilhos quadrados?

<P>
  Para responder, use papel quadriculado e mos  obra.

  Professor fala:
  -- Essa atividade nos ajuda a perceber que  possvel decompor 12 
de maneiras diferentes. Veja:

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<P>
  Aluno fala:
  -- Em 12 grupos de 1.
 o o o o o o o o o o o o

  Aluna 1 fala:
  -- Em 6 grupos de 2.
 oo oo oo oo oo oo

  Aluna 2 fala:
  -- Em 4 grupos de 3.
 ooo ooo ooo ooo

<137>
  Aluno fala:
  -- Em 3 grupos de 4.
 oooo oooo oooo

  Aluna 1 fala:
  -- Em 2 grupos de 6.
 oooooo oooooo

  Aluna 2 fala:
  -- Em 1 grupo de 12.
 oooooooooooo

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::.
l    1, 2, 3, 4, 6 e 12   _
l  so os divisores de 12.     _
h:::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Professor fala:
  -- Agora mostre como decompor o 7 de maneiras diferentes.
  Aluna 1 fala:
  -- Xiii!!! S consegui achar 2 maneiras.

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Atividades
  1. Volte ao papel quadriculado e tente formar retngulos com:
  a) 2 ladrilhos
  b) 3 ladrilhos
  c) 4 ladrilhos
  d) 5 ladrilhos
  e) 6 ladrilhos
  f) 8 ladrilhos
  g) 9 ladrilhos
  h) 10 ladrilhos
  i) 11 ladrilhos
  j) 13 ladrilhos
  l) 14 ladrilhos
  m) 15 ladrilhos
  n) 16 ladrilhos
  o) 17 ladrilhos
  p) 18 ladrilhos
  q) 19 ladrilhos
  r) 20 ladrilhos

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Recado: Considere que o   _
l  quadrado  um retngulo       _
l  especial.                     _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  2. O que voc observou ao fazer a atividade anterior?

<138>
<P>
  3. Voc j percebeu que mdico nenhum receita um medicamento para 
ser tomado de 5 em 5 horas? Veja como seria, nesse caso, a tabela de horrios 
para um paciente tomar seus medicamentos, supondo que tenha comeado  
meia-noite de segunda-feira.

<F->
!:::::::::::.::::::::::::.:::::::::::.
l 2-feira _  3-feira _ 4-feira _
l 00:jj    _    1:jj   _   2:jj   _
l  5:jj    _    6:jj   _   7:jj   _
l 10:jj    _   11:jj   _  12:jj   _
l 15:jj    _   16:jj   _  17:jj   _
l 20:jj    _   21:jj   _  22:jj   _
h:::::::::::j::::::::::::j:::::::::::j

!:::::::::::.::::::::::::.
l 5-feira _  6-feira _
l  3:jj    _    4:jj   _
l  8:jj    _    9:jj   _
l 13:jj    _   14:jj   _
l 18:jj    _   19:jj   _
l 23:jj    _   00:jj   _
h:::::::::::j::::::::::::j
<F+>

  S vai haver coincidncia de horrios no final do quinto dia. J 
imaginou a dificuldade para se lembrar de todos esses horrios?
  Isso no acontece com quem tem que tomar medicamentos de 6 em 6 
horas. O paciente que comear a tomar a medicao  meia-noite vai seguir 
todos os dias os mesmo horrios: meia-noite, 06:jj, 12:jj, 18:jj, meia-noite...
  Fato semelhante vai acontecer com medicamentos que so tomados de 
1 em 1 hora, 2 em 2 horas, 3 em 3 horas, 4 em 4 horas, 8 em 8 horas, 12 em 12 
horas ou 24 em 24 horas.
  Agora pense e responda: por que isso ocorre?

  4. Um {dia} em Saturno tem aproximadamente 10 horas. Se voc 
fosse um mdico interplanetrio, indicaria remdios para serem tomados, em 
Saturno, de quantas em quantas horas?

  5. Quais entre os nmeros 1, 2, 3, ..., 20 tm mais do que dois 
divisores?

  6. O que  possvel formar com apenas 1 ladrilho?

  7. Quantos divisores tem o nmero 1?

  8. Liste todos os nmeros entre 1 e 20 que tm apenas 2 divisores.

Voltando ao assunto...

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Os nmeros que admitem ape-  _
l  nas dois divisores so chama-   _
l  dos de _nmeros _primos.        _
l    Os nmeros que admitem       _
l  mais de dois divisores so      _
l  chamados _nmeros _compostos.   _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<139>
<P>
  Professor fala:
  -- O que voc pode concluir em relao ao nmero 1?
  Aluna 1 fala:
  -- O nmero 1 no  primo nem composto.

  Nmero: 1
  Divisores: 1
  Quantidade em divisores: um
  Primo ou composto:

  Nmero: 2
  Divisores: 1, 2
  Quantidade em divisores: dois
  Primo ou composto: primo

  Nmero: 3
  Divisores: 1, 3
  Quantidade em divisores: dois
  Primo ou composto: primo

<P>
  Nmero: 4
  Divisores: 1, 2, 4
  Quantidade em divisores: trs
  Primo ou composto: composto

  Nmero: 5
  Divisores: 1, 5
  Quantidade em divisores: dois
  Primo ou composto: primo

  Nmero: 6
  Divisores: 1, 2, 3, 6
  Quantidade em divisores: quatro
  Primo ou composto: composto

  Nmero: 7
  Divisores: 1, 7
  Quantidade em divisores: dois
  Primo ou composto: primo
 
  Nmero: 8
  Divisores: 1, 2, 4, 8
  Quantidade em divisores: quatro
  Primo ou composto: composto
 
  Nmero: ...
  Divisores: ...
  Quantidade em divisores: ...
  Primo ou composto: ...

  Nmero: 20
  Divisores: 1, 2, 4, 5, 10, 20
  Quantidade em divisores: seis
  Primo ou composto: composto

  Veja a seqncia dos nmeros primos menores do que 20:

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19  _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
  Histria em quadrinhos:

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.                _
l    Professor fala:              _
l    o Se _p  um nmero primo,  _
l       ento ele tem como divi-   _
l       sores apenas _1 e p.      _
l    Aluna 1 pergunta:           _
l    o quantos so os nmeros     _
l       primos?                    _
l    Aluna 2 pergunta:           _
l    o Como saber se um nmero   _
l        primo ou no?            _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.               _
l    Professor fala:             _
l    o Calma! H pelo menos    _
l       dois mil anos matemti-   _
l       cos e estudiosos tentam   _
l       responder perguntas como  _
l       essas.                    _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.              _
l    Euclides de Alexandria,   _
l  matemtico grego, provou,     _
l  h 2.300 anos, que h infi-  _
l  nitos nmeros primos.         _
l    Eratstenes de Cirene     _
l  (276 a.C. -- 194 a.C.),   _
l  grego, criou um mtodo para   _
l  descobrir nmeros primos.     _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 4.                _
l    Professor fala:              _
l    o  o mtodo de Eratste-  _
l       nes que vamos conhecer     _
l       agora.                     _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<140>
<P>
Eratstenes e os nmeros primos

  Acompanhe o raciocnio de Eratstenes para descobrir os nmeros 
primos at 50.
  1) Faa um quadro no caderno com nmero de 1 a 50.

<F->
1   2  3  4  5  6  7  8  9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
<F+>

  2) Marque um trao sobre o nmero 1, que sabemos no ser primo, 
pois tem apenas um divisor.

  3) V ao prximo nmero, que  o 2, e circule-o: ele  o primeiro 
nmero primo. Marque todos os mltiplos de 2 com um trao: eles no so 
primos.

<P>
  4) Circule o prximo nmero ainda no assinalado, que  o 3: ele  
primo. Marque com um trao todos os mltiplos de 3.

  5) O prximo nmero no riscado  o 5. Circule-o e marque com trao 
todos os mltiplos de 5.

  6) Continue com este procedimento at o fim da seqncia, quando 
todos os nmeros ou estaro circulados ou riscados.
  Os nmeros circulados so primos.
  Os nmeros riscados, com exceo do 1, so chamados _compostos.

Atividades
  9. Qual  o primeiro nmero primo par? H outros?

  10. Qual  o primeiro nmero primo mpar?

<P>
  11. Quantos nmeros primos terminam em 5?

  12. Voc pode determinar qual  o ltimo nmero primo? Por qu?

  13. Quantos so os nmeros primos menores do que 50?

  14. Qual o intervalo que tem mais nmeros primos: entre 1 e 50 ou 
entre 50 e 100?

  15. Escreva, em ordem crescente, todos os nmeros primos menores 
do que 100. Quantos so eles?

<141>
  16. Pense dois nmeros primos consecutivos.
  a) Qual  a diferena entre eles?
  b) Algum na sua turma conseguiu uma diferena menor?

<P>
  17. Copie no caderno s a proposio verdadeira. Justifique.
  a) A soma de dois nmeros primos  sempre par.
  b) A soma de dois nmeros primos mpares  sempre par.

  18. Escreva cada um dos nmeros seguintes como um produto de 
nmero primos:
  a) 14
  b) 15
  c) 21
  d) 24
  e) 32
  f) 35
  g) 39
  h) 49
  i) 50
  j) 77

<P>
Decomposio de um nmero em fatores primos

  Professor fala:
  -- Depois de ter resolvido as atividades anteriores, tente responder:
  -- Ser sempre possvel exprimir um nmero como produto de nmeros 
primos?

  Essa pergunta foi respondida por Euclides de Alexandria, o mesmo 
que j tinha provado que existem infinitos nmeros primos.

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?
    Figura: Euclides de   o
  Alexandria.              o
eieieieieieieieieieieieieieiei
<F+>

  Euclides fala:
  -- Qualquer nmero inteiro maior do que 1 ou  primo ou pode ser 
decomposto em um produto de nmeros primos.

<P>
  Histria em quadrinhos.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.            _
l    Aluna 1 fala:           _
l    o 2 e 3 so primos.    _
l       4=2`*2 no  primo.  _
l    Aluna 2 fala:           _
l    o 5  primo.            _
l       6=2`*3 no  primo.  _
l    Aluno fala:              _
l    o 7  primo.            _
h::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.            _
l    Aluno fala:              _
l    o 8=2`*2`*2            _
l    Aluna 1 fala:           _
l    o 9=3`*3               _
l       10=2`*5              _
l    Aluna 2 fala:           _
l    o 8, 9 e 10 no so   _
l       primos.                _
h::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<142>
Atividade
  19. Decomponha os nmeros a seguir em um produto de nmeros 
primos:
  a) 28
  b) 24
  c) 36
  d) 52
  e) 72
  f) 100
 
Voltando ao assunto...

  Vamos analisar algumas decomposies {em rvore} do nmero 30.

<F->
    30
   2`*15
  2`*3`*5
<F+>

<F->
    30
   3`*10
  3`*2`*5
<F+>

<P>
<F->
    30
   5`*6
  5`*2`*3
<F+>

  30=2`*3`*5=3`*2`*5=5`*2`*3

  Professor fala:
  -- Se trocarmos a ordem dos fatores o produto no fica alterado.

  Isso verifica uma afirmao de Euclides: a decomposio de um 
nmero em fatores primos  nica.
  Tambm podemos fatorar um nmero usando o dispositivo vertical 
descrito a seguir:

<F->
  30 l 2
  15 l 3
   5 l 5
   1 l 2`*3`*5 :o fatores primos
<F+>

<P>
  Fatorar um mesmo nmero completamente  o mesmo que decompor 
esse nmero em um produto de fatores primos.
  1) Divide-se o nmero a ser fatorado pelo seu menor divisor primo.
  2) Divide-se o quociente obtido no item anterior pelo seu menor 
divisor primo.
  3) Procede-se desta maneira at se obter o quociente 1.

  Aluno fala:
  -- Deixa eu tentar com outro nmero.

<F->
  90 l 2
  45 l 3
  15 l 3
   5 l 5
   1 l 2`*3`*3`*5
<F+>
  Verifique: 2`*3`*3`*5=90

<P>
Atividades
  20. Decomponha em fatores primos os nmeros a seguir pelo 
dispositivo de rvores:
  a) 64
  b) 100
  c) 125
  d) 135
  e) 284
  f) 343
  g) 360
  h) 1.000

<143>
  21. Decomponha em fatores primos os nmeros a seguir usando o 
dispositivo vertical:
  a) 111
  b) 128
  c) 220
  d) 240
  e) 540
  f) 729
  g) 1.024
  h) 2.700

  22. Decompondo 111 em fatores primos obtm-se 11=3`*37. 
Decomponha os nmeros abaixo em fatores primos:
  a) 222
  b) 333
  c) 444
  d) 555
  e) 666
  f) 777
  g) 888
  h) 999
 
  23. Sabe-se que os nmeros 101, 311, 2.111 e 3.001 so nmeros 
primos. Decomponha os nmeros abaixo em fatores primos.
  a) 202
  b) 505
  c) 622
  d) 933
  e) 1.555
  f) 6.002
  g) 8.444
  h) 21.007

Determinando se um nmero  primo

  Aluno fala:
  -- Como eu fao para saber se um nmero  primo ou composto? 
1.001, por exemplo.

  Se um nmero  composto, ento ele tem mais do que dois divisores. 
O que temos de fazer  usar os critrios de divisibilidade na tentativa de 
encontrar esses divisores. Se aps todas as tentativas no se encontrar o 
divisor, o nmero  primo.

<P>
  Histria em quadrinhos.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.                _
l    Aluna 2 fala:               _
l    o Ento, basta procurar     _
l       os divisores primos de     _
l       1.001.                    _
l    Aluna 1 fala:               _
l    o 1.001 no  divisvel     _
l       por 2, pois o algarismo   _
l       das unidade  mpar.       _
l    Aluno fala:                  _
l    o 1.001 no  divisvel     _
l       por 3. `(1+0+0+1=2`)   _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.                 _
l    Aluna 2 fala:                _
l    o 1.001 no  divisvel      _
l       por 5, pois o algarismo    _
l       das unidades no  0       _
l       ou 5.                      _
l    Aluna 1 fala:                _
l    o 1.001  divisvel por      _
l       7. `(1.001/7=143`)        _
l    Aluno fala:                   _
l    o Logo, 1.001  um nmero   _
l       composto.                   _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<144>
  Veja a decomposio de 1.001 em fatores primos:
<F->
1.001 l 7
  143 l 11
   13 l 13
    1 l 7`*11`*13=1.001
<F+>

<P>
  Vamos ver outro exemplo:
  127
  127 no  divisvel por 2 :o (o algarismo das unidades  mpar)
  127 no  divisvel por 3 :o `(1+2+7=10 :o 1+0=1`)
  127 no  divisvel por 5 :o ( o algarismo das unidades  diferentes de 
0 ou 5)
  127 no  divisvel por 7 :o `(127=70+35+21+1, o resto da diviso por 
7  1`)
  127 no  divisvel por 11 :o `(127=110+11+6, o resto da diviso por 
11  6`)
  127 no  divisvel por 13 :o `(127=130-3`)

  Aluna 1 fala:
  -- J estou desconfiando que 127 no  mltiplo de 13.
  Professor fala:
  -- Muito bem! observe:

<P>
  127/13=9
  resto 10
  9 :o o quociente  menor que o divisor
  913

  Aluno fala:
  -- Ento, se o divisor aumentar, o quociente vai diminuir.
  Professor fala:
  -- Exato! Portanto, se houvesse algum fator primo ele j teria sido 
descoberto nos passos anteriores.
  -- Agora  a sua vez. Tente com 353.

<P>
  353
  353 no  mltiplo de 2 :o (o algarismo das unidades  mpar)
  353 no  mltiplo de 3 :o `(3+5+3=11 :o 1+1=2`)
  353 no  mltiplo d 5 :o (o algarismo das unidade  3)
  353 no  mltiplo de 7 :o `(353=350+3, na diviso por 7 o resto  3`)
  353 no  mltiplo de 11 :o `(353=330+22+1, na diviso por 11 o resto 
 1`)
  353 no  mltiplo de 13 :o `(353=260+39+52+2, na diviso por 13 o 
resto  2`)
  353 no  mltiplo de 17 :o `(353=340+13, na diviso por 17 o resto  
13`)

<145>
<P>
  Histria em quadrinhos:

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.               _
l    353/19=                    _
l    Aluna 1 fala:              _
l    o Xii... Est ficando     _
l       complicado.               _
l    Professor fala:             _
l    o Nesse caso, o melhor    _
l       usar a calculadora para   _
l       checar se a diviso      _
l       exata.                    _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.                _
l    Aluno fala:                  _
l    o J dividi 353 por 19.   _
l       A diviso no  exata.    _
l    18.578947                    _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.               _
l    Professor fala:             _
l    o Com esses resultados     _
l       podemos afirmar que o     _
l       nmero 353  um nmero   _
l       primo.                    _
l    Aluno pensa:                _
l    o Por qu?                 _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

Atividades
  24. Por que  possvel decidir que 353  primo, depois de efetuar a 
diviso de 353 pelos nmeros primos de 2 a 19?

<P>
  25. Aqui voc tem uma tabela de nmeros escolhidos ao acaso:

<F->
!:::::.:::::.:::::.:::::.:::::.
l 48 _ 17 _ 57 _ 16 _  7 _
r:::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l  8 _ 23 _ 81 _  9 _ 77 _
r:::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l 20 _ 25 _ 63 _  1 _ 15 _
r:::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l 12 _ 99 _ 55 _ 41 _ 36 _
r:::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l 11 _ 30 _ 97 _  5 _ 27 _
h:::::j:::::j:::::j:::::j:::::j
<F+>

  Em relao aos nmeros da tabela, indique:
  a) o menor nmero primo
  b) o maior nmero primo
  c) o menor nmero composto
  d) o maior nmero composto
  e) um nmero nem primo nem composto
  f) um nmero primo de 1 algarismo
  g) um nmero primo de 2 algarismos
  h) um nmero composto de 1 algarismo
  i) um nmero composto de 2 algarismos
  j) um nmero primo
  l) um nmero composto

<146>
  26. Este  para fazer com seus colegas de grupo. Liste e verifique se os 
nmeros a seguir so primos:
  a) o dia do nascimento de seu colega
  b) o nmero da casa, do prdio ou do apartamento de cada aluno do 
grupo
  c) o nmero formado pelos dois ltimos algarismos da chapa do carro 
de seus pais, tio ou vizinho
  d) o nmero formado pelos dois ltimos algarismos do ano do 
nascimento de cada colega
  e) o nmero formado pelos trs primeiros algarismos dos telefones de 
quem tem telefone

<P>
  27. Vamos verificar se 197  primo. Para isso, responda se 197  
divisvel:
  a) por 2? Por qu?
  b) por 3? Por qu?
  c) por 5? Por qu?
  d) por 7? Por qu?
  e) por 11? Por qu?
  f) por 13? Por qu?
  g) Calcule 17`*17.
  h) 197  maior ou menor do que 17`*17?
  i) 197  um nmero primo ou no?

  28. Tente escrever cada um dos nmeros pares a seguir como uma 
soma de dois nmeros primos:
  a) 24
  b) 30
  c) 42
  d) 50
  e) 64
  f) 72
  g) 100
  h) 248

  29. Na decomposio em fatores primos do nmero 32 s aparece o 
fator 2. Que outros nmeros menores que 100 s tem o 2 como fator?

  30. Escreva todos os nmeros menores do que 100 que podem ser 
compostos apenas pelos primos:
  a) 3
  b) 5
  c) 2 e 3
  d) 2 e 5
  e) 3 e 5
  f) 2, 3 e 5

<P>
  31. Imagine um pas fictcio cujo sistema monetrio  composto pelas 
moedas de $1, $2, $4, $5, $10, $20, $25, $50, $100. Indique de 
quantas maneiras  possvel trocar uma moeda de $100:

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Lembre-se: 1 de 100 no   _
l  significa {trocar} no sen-     _
l  tido usual.                    _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  a) Trocando pelo menor nmero possvel de moedas.
  b) Trocando pelo maior nmero possvel de moedas.
  c) Trocando por um nico tipo de moeda.
  d) o que esta atividade tem a ver com a decomposio do 100?

<147>
<P>
  32. Copie as rvores e complete-as:

<F->
(((((((((((((((((((((((((((((((
  Pea ajuda ao professor.  y
ggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  33. Encontre dois nmeros primos consecutivos cuja diferena seja:
  a) 1
  b) 2
  c) 4
  d) 6
  e) 8

  34. Pode haver dois nmeros primos consecutivos cuja diferena seja 
3? Explique por qu.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Idia: Consulte a tabela  _
l  dos primos que voc cons-     _
l  truiu utilizando o crivo      _
l  de Eratstenes.              _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  35. Responda:
  a) Qual  o menor nmero primo maior do que 666?
  b) Qual  o maior nmero primo menor do que 666?
  c) Qual  o maior nmero primo que se escreve com 3 algarismos?
  d) Qual  o menor nmero primo que se escreve com 4 algarismos?

De volta aos divisores

  J vimos que o nmero 100 pode ser decomposto de vrias maneiras.
  Vejamos algumas delas:

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l   100=50+50=2`*50             _
l   100=25+25+25+25=4`*25     _
l   100=20+20+20+20+20=5`*20 _
l   100=10+10+10+10+10+10+   _
l  +10+10+10+10=10`*10         _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
  Aluna 1 fala:
  -- Ento 100 pode ser dividido por 10, 20, 25 e 50.
  Aluno fala:
  -- E tambm por 1, 2, 4 e 5.

  Indicamos por D`(100`) o conjunto de todos os divisores de 100.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    D`(100`)=`{1, 2, 4, 5, 10,  _
l   20, 25, 50, 100`}             _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<148>
Atividades
  36. Escreva todos os elementos de cada conjunto de divisores.
  a) D`(10`)
  b) D`(12`)
  c) D`(18`)
  d) D`(20`)
  e) D`(24`)
  f) D`(25`)
  g) D`(48`)
  h) D`(49`)
  i) D`(50`)
  j) D`(64`)
  l) D`(72`)
  m) D`(99`)

  37. Considere os conjuntos de divisores de 4 e 6. Depois escreva todos 
os elementos de cada conjunto de divisores comuns dos itens a seguir.

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::.
l   D`(4`)=`{1, 2, 4`}         _
l   D`(6`)=`{1, 2, 3, 6`}     _
l   Indicaremos por D`(4; 6`)   _
l  o conjunto de todos os        _
l  divisores comuns de 4 e 6.  _
l   D`(4, 6`)=`{1, 2`}         _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  a) D`(12, 18`)
  b) D`(12, 20`)
  c) D`(12, 24`)
  d) D`(24, 12`)
  e) D`(10, 20`)
  f) D`(20, 24`)
  g) D`(24, 25`)
  h) D`(48, 64`)
  i) D`(48, 72`)
  j) D`(20, 50`)
  l) D`(24, 48`)
  m) D`(24, 72`)
  n) D`(72, 12`)
  o) D`(10, 50`)

  38. Em cada um dos casos do exerccio anterior indique o maior 
divisor comum (mdc).

  39. Qual o nmero que sempre aparece entre os divisores comuns de 
dois nmeros quaisquer?

  40. Determine D`(12; 18; 30`), conjunto dos divisores comuns de 12, 
18 e 30.

<P>
Mximo divisor comum (mdc)

  Seu Euclides  um marceneiro dos bons. Ele pretende construir trs 
rguas para seu filho que estuda na 5 srie, um tamanho para cada finalidade. 
A maior com 40 cm e a mdia com 24 cm. A menor, pensou ele, deveria 
ser
de um tamanho bem apropriado para que pudesse medir certinho a rgua 
maior e a rgua mdia.

  Professor fala:
  -- Voc  capaz de dizer quantos centmetros deve ter a rgua menor?
  -- Antes de seguir no texto discuta com seus colegas, se necessrio 
produza {rgua} com uma fita de papel.

<149>
<P>
  Histria em quadrinhos.

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.               _
l    Seu Euclides alinhou as    _
l  duas rguas na mesa de modo    _
l  que uma de suas extremidades   _
l  coincidisse.                   _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 2.              _
l    Ele verificou que para     _
l  medir a rgua maior precisa-  _
l  va da rgua mdia e ainda     _
l  sobrava um pedao de 16 cm.  _
h::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 3.                _
l    Em seguida, seu Euclides    _
l  serrou um pedao de madeira     _
l  de 16 cm. Ento, alinhou as   _
l  extremidades da rgua de 16    _
l  cm com a rgua mdia de 24     _
l  cm e notou que restava um       _
l  pedao de 8 cm.                _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 4.                  _
l    No pensou duas vezes e cons-  _
l  truiu uma nova rgua de 8 cm.    _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 5.               _
l    Assim, usou a rgua de 8   _
l  cm para medir as outras r-    _
l  guas que havia construdo.     _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<150>
<P>
  Ficou feliz ao notar que a nova rgua de 8 cm podia medir todas as 
rguas construdas at ento, pois:
  40 cm=5`*8 cm
  24 cm=3`*8 cm
  16 cm=2`*8 cm
  Vamos analisar este problema a partir de nosso estudo sobre divisores.
  Considere os conjuntos dos divisores comuns de 24 e de 40:

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    D`(24`)=`{1, 2, 3, 4, 6,  _
l  8, 12, 24`}                   _
l    D`(40`)=`{1, 2, 4, 5, 8,  _
l  10, 20, 40`}                  _
l    Agora, os divisores comuns:   _
l  D`(24, 40`)=`{1, 2, 4, 8`}  _
l    O Maior Divisor Comum de   _
l  24 e 40 : mdc`(24, 40`)=8    _
h:::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<P>
  Professor fala:
  -- Seu Euclides poderia ter escolhido 1 cm, 2 cm, 4 cm ou 8 cm para 
resolver seu problema, porm optou pela maior medida comum.

  Como vimos no problema do marceneiro, h situaes em que  
importante conhecer o valor do Maior Divisor Comum ou Mximo Divisor 
Comum (mdc) de dois ou mais nmeros.

Atividades
  41. Encontre o mdc dos nmeros:
  a) 8 e 12
  b) 12 e 8
  c) 6 e 12
  d) 4 e 8
  e) 5 e 7
  f) 5 e 6
  g) 8 e 9
  h) 10 e 12
  i) 12 e 15
  j) 21 e 56

  42. Determine o mdc dos nmeros:
  a) `(5, 1`)
  b) `(a, 1`)
  c) `(2, 4`)
  d) `(3, 6`)
  e) `(2, 4, 6`)
  f) `(3, 6, 9`)

  43. Determine o mdc`(12, 15, 18`).

  44. Dona Maria, a costureira do bairro, dispe de duas fitas de seda de 
tamanhos diferentes. Com as mos, ela mediu as fitas: a primeira deu 24 
palmos e a segunda 32 palmos. Ela pretende cortar as duas fitas de modo a 
obter pedaos do mesmo tamanho. Quantos palmos dever ter cada fita?

<F->
*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*?*
    Foto: uma pessoa medin-   o
  do uma fita usando o palmo   o
  da mo.                      o
eieieieieieieieieieieieieieieieie
<F+>

  45. Depois de pensar nas possibilidades de corte, dona Maria decidiu 
que as duas fitas devero ser cortadas de modo que cada corte seja o maior 
possvel. Quantos palmos dever ter cada fita?

<151>
Nmeros primos entre si

  Quando o Mximo Divisor Comum de dois nmeros  1, dizemos que 
os nmeros so _primos _entre _si.
  mdc`(5, 8`)=1, ento 5 e 8 so primos entre si.
  mdc`(5, 10`)=5, ento 5 e 10 no so primos entre si.

<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::::::.
l    Quadrinho 1.                _
l    Aluna 1 fala:               _
l    o Ento 2 e 3 so primos  _
l       ente si.                   _
l    Aluno fala:                  _
l    o E 2 e 5; 2 e 7;       _
l       2 e 9 tambm.            _
l    Aluna 2 fala:               _
l    o 3 e 4; 3 e 5;          _
l       3 e 7; 3 e 8.          _
l       5 e 7; 5 e 9;          _
l       5 e 11; 5 e 12.        _
l    Professor fala:              _
l    o Observe que dois nmeros  _
l       primos so sempre primos   _
l       entre si.                  _
h::::::::::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

Atividades
  46. Entre os nmeros 17, 21, 35, 39, 44, 49, 50 e 51, encontre os pares 
de primos entre si. Justifique sua resposta.

  47. Fatore os nmeros 17, 21, 35, 39, 44, 49, 50 e 51. Verifique que 
quando dois nmeros so primos entre si eles no tm fator primo comum.

<152>
Retomando
  1. Quantos nmeros primos terminam em 2?

  2. Quantos nmeros primos terminam em 6?

  3. Quantos nmero primos terminam em 3?

  4. Usando o crivo de Eratstenes, encontre os nmeros primos maiores 
que 200 e menores que 300.

<P>
  5. Um matemtico chamado Polignac (l-se {Polinh}) afirmou que 
{todo nmero par pode ser obtido pela diferena de dois nmeros primos}. 
Verifique a proposio de Polignac para o seguintes casos:
  a) 2
  b) 4
  c) 6
  d) 8
  e) 10
  f) 12

  6. Decomponha os nmeros seguintes em fatores primos:
  a) 84
  b) 75
  c) 80
  d) 102

<P>
  7. Determine, usando o crivo de Eratstenes, quais entre os nmeros 
seguintes so primos. Justifique sua resposta.
  a) 85
  b) 76
  c) 79
  d) 103
  e) 123

  8. Encontre todos os divisores dos nmeros:
  a) 28
  b) 36
  c) 49
  d) 57
  e) 76
  f) 100
  g) 111
  h) 220
  i) 284
 
<P>
  9. Calcule o maior divisor comum:
  a) mdc`(28, 36`)
  b) mdc`(25, 45`)
  c) mdc`(84, 48`)
  d) mdc`(48, 84`)
  e) mdc`(148, 248`)
  f) mdc`(14, 28, 70`)
 
  10. Entre os nmeros 13, 15, 17 e 24, encontre pares que so primos 
entre si.

  11. Encontre o menor nmero de dois algarismos que seja divisvel, ao 
mesmo tempo, por 8 e por 9.

<153>
  12. Abaixo voc v 12 fichas, cada uma contendo uma informao. 
Algumas das informaes podem estar relacionadas a um mesmo nmero. 
veja, por exemplo, as que podem ser associadas ao nmero 15.

  A --  mltiplo de 2.
  B --  mltiplo de 3.
  C --  mltiplo de 5.
  D --  menor do que 25.
  E -- No  mpar.
  F --  mpar.
  G --  maior do que 25.
  H -- No  mltiplo de 10.
  I -- No  mltiplo de 4.
  J --  divisor de 120.
  L --  menor do que 10.
  M -- No  divisor de 72.

  Ao nmero 15 podem ser associadas as informaes contidas nas fichas 
B, C, D, F, H, I, J, M.
  Faa o mesmo para os nmeros a seguir.
  a) 8
  b) 25
  c) 50
  d) 6
  e) 27
  f) 24

<P>
  13. Numa certa aula o professor falou para a classe sobre a conjectura 
de Goldbach: todo nmero par, maior do que 4, pode ser decomposto na soma 
de dois nmeros primos. A seguir, o professor desafiou os alunos a provarem 
que ela vale para o nmero 2.000.
  Um aluno arriscou a soluo:
  2.000=1.001+999
  Mas logo seus colegas retrucaram lembrando que 999 no  nmero 
primo e sim mltiplo de 9, alm do fato de que 1.001=7`*11`*13.
  Outro colega arriscou: 2.000=7+1.993
  Xiii! Sabemos que 7  um nmero primo, mas e o 1.993?
  Use a calculadora para verificar e decidir se 1.993  um nmero primo.

<154>
<P>
Revistinha

Nmeros Primos

Os primos gigantes

  Desde os primeiros estudos sobre os nmeros primos, os matemticos 
se preocuparam, por curiosidade ou necessidade, em calcular um nmero 
primo maior que o outro. Nos dias de hoje, os nmeros primos gigantes so 
importantes para proteo de arquivos e banco de dados. Para voc ter uma 
idia, aquela senha que seus pais usam para movimentar a conta bancria  um 
cdigo {secreto} s conhecido pelo dono da conta bancria e gerenciado por 
um sistema informtico que usa nmeros primos grandes par no ser violados 
por {abelhudos}.
  Algumas empresas formadas por matemticos produzem e 
comercializam nmeros primos gigantes.
<P>
  At o final de 1999 o maior nmero primo j produzido pelos 
matemticos era o nmero 26972593-1. Este gigante numrico tem apenas 
2.098.960 dgitos.

  Aluna 1 fala:
  -- Nossa! Quantos metros teria que ter uma fita para escrever todo esse 
nmero?

<155>
O dilema de Goldbach

  Um matemtico chamado Goldbach (se fala {Goldib}) afirmou h 
250 anos que qualquer nmero par maior do que 4 pode ser decomposto numa 
soma de dois nmeros primos. At hoje no sabemos se Goldbach estava 
completamente certo, pois ningum conseguiu encontrar um nmero par que 
no satisfizesse sua proposio.

<P>
<F->
!::::::::::::::.
l  10=3+7   _
l  18=11+7  _
l  20=3+17  _
l  20=7+13  _
h::::::::::::::j
<F+>

  Discuta com seus colegas e veja se a proposio  vlida para os 
nmeros pares at 100.

::::::::::o::::::::::